Для наблюдательного человека самый, казалось бы, заурядный факт становится источником размышлений, нередко приводящих к удивительным и не так-то легко объяснимым открытиям. Подтверждением этой старой истины может служить «закон аномальных чисел», открытый американским физиком Ф. Бенфордом в 1938 году. Начальный толчок его поискам дали библиотечные таблицы логарифмов. Бенфорд заметил, что первые несколько страниц захватаны больше, чем следующие за ними, в то время как последние почти совсем чисты.
        «Почему студенты и инженеры чаще пользуются первыми страницами таблиц логарифмов, чем последними? – подумал Бенфорд. – Потому что им чаще приходится иметь дело с числами, начинающимися с цифры 1, чем с цифр 2, 3, 4 и т.д. А логарифмы каких чисел чаще всего приходится искать в таблицах? Очевидно тех, которые находятся в специальных справочниках».
        Исследовал около 20 таблиц, среди которых были данные о площади поверхности 335 рек, удельной теплоемкости и молекулярном весе тысяч химических соединений и даже о номерах домов первых 342 лиц, указанных в биографическом справочнике американских ученых. Проанализировав более 20 тысяч содержащихся в таблицах чисел, Бенфорд установил удивительную закономерность. Казалось бы, все цифры равноправны, и вероятность появления каждой из них в начале числа должна составлять 0,111. В действительности же  вероятность того, что число начнется с 1, оказалась втрое больше, чем вытекает из равновероятного распределения! Наоборот, вероятность того, что число начнется с цифры 9, составляет всего 0,047 – почти в 2,5 раза меньше. Короче говоря, если таблицы логарифмов разместить на 9 страницах, то первая окажется в семь раз грязнее, чем последняя!
        Попытавшись выразить найденную зависимость математически, Бенфорд и установил «закон аномальных чисел»: вероятность того, что случайная десятичная дробь начинается с цифры Р, равна  lg(Р+1) – lgР.  Сравнение опытных данных и теоретических приведено на диаграмме: зеленый цвет – опытные данные, красный – теоретические.
        Слово «аномальные» в названии закона появилось потому, что одни таблицы находятся в лучшем соответствии с формулой, чем другие. Площади рек и случайные номера домов дают лучшее совпадение, а таблицы квадратных корней или удельных теплоемкостей – худшее. Поэтому Бенфорд решил, что открытый им закон приложим только к таким – аномальным – числам, между которыми не угадывается никаких связывающих их закономерностей.
        Сам Бенфорд считал, что «числа лишь бледные символы реально существующих вещей».
        Вот какой непростой закон на протяжении многих лет являлся миру в виде захватанных первых страниц справочников!



































Справка:

Бенфорд (Benford Frenk) Фрэнк, американский физик.
Benford F. The law of anomalous numbers. Proc. Amer. Phil. Soc., 78, 1938, p. 551–572.
Ньюкомб (Newcomb Simon) Саймон (Симон) (1835-1909), американский астроном, иностранный член-корреспондент (1875), иностранный почетный член (1896) Петербургской АН. Основные труды по исследованию движения планет, их спутников, Луны и определению астрономических постоянных.
Newcomb S. Note on the frequency of the use of digits in natural numbers. Amer. J. Math. 4, 1881, p. 39–40.

        Эмпирический закон, которому подчиняется распределение первых значащих цифр в разнообразных массивах числовых данных. Эта статистическая закономерность была впервые обнаружена в 1881 г. Саймоном Ньюкомбом и затем переоткрыта в 1938 г. Фрэнком Бенфордом, по имени которого её принято называть; согласно легенде, оба автора заметили, что в таблицах логарифмов, которыми они пользовались, особенно много следов чтения хранили первые страницы книги - те, на которых помещались логарифмы чисел, начинающихся с единицы.
        Объяснению и моделированию закона Бенфорда посвящён ряд публикаций в научной и научно-популярной литературе. В последние годы закон Бенфорда стал превращаться из математического курьёза в инструмент для исследований.
        Только в 1986 году физик Дон Лемонс обратил внимание на простое обстоятельство, которого наука прежде не замечала: луж больше, чем прудов, а прудов больше, чем океанов. Из этого следует, что водоемов площадью от 10 до 20 аров (гектаров, квадратных километров и пр.) больше, чем площадью от 20 до 30 аров, а площадью от 100 до 200 аров больше, чем площадью от 200 до 300 аров - и так далее. Все тот же закон Бенфорда!
        Можно сказать, этому закону подчиняется весь мир - во всяком случае, на Земле. Ведь гальки больше, чем валунов, и вообще маленьких вещей больше, чем больших. Почему так повелось, это уже другой вопрос...
        До самого последнего времени никто не мог придумать, какую практическую пользу мог бы приносить закон Бенфорда. Пока американскому математику Марку Нигрини не пришло в голову, что подчиняться этому закону должны и цифры в налоговых декларациях и таким образом в них легко можно определять подтасовки и фальсификации [Nigrini M. J. Digital analysis using Benford’s Law: tests statistics for auditors. Global Audit Publications, 2000].