«При математическом подходе качественной моделью физического явления служит формула. Математическая формула-модель обладает рядом специфических свойств и недостатков. В частности любая формула есть носитель определенной математической идеи, сущность которой не обязательно совпадает с сущностью изучаемого физического явления, то есть не каждой  формальной математической идее можно сопоставить в окружающем мире определенные вещественные и поведенческие категории. В результате математическим моделям сопутствует наибольшее число заблуждений и предрассудков, что вынуждает сделать ряд пояснений, которые прежде всего должны коснуться существа и роли математики.
        В связи с широко известными успехами Гейзенберга, Дирака, Фейнмана, Шредингера, Борна и некоторых других авторов, отмеченными Нобелевскими премиями, на пути угадывания математических уравнений сложились совершенно превратные представления о роли математики. Многие авторы стали резко преувеличивать эту роль, пытаясь разрешить назревший в физике кризис посредством изобретения новых математических приемов. С этого момента математические уравнения зажили самостоятельной жизнью, а математика, получив незаслуженный ею титул царицы науки, невольно начала довлеть над природой. Некоторые математики договорились уже до того, что совокупность всех без исключения наук начали классифицировать по принципу: математика – не математика; первое – это все, второе – это ничто.
        Блестящее начало такому направлению в развитии теории было положено Джемсом Клерком Максвеллом, вспомним знаменитое изречение Генриха Герца: «Теория Максвелла – это уравнения Максвелла». Сейчас это направление доведено до крайности, то есть до абсурда, при изучении микромира. Ярко выраженных приверженцев такого подхода называют алгебраистами. Алгебраисты пытаются отразить каждый новый экспериментальный факт с помощью специально созданного для этой цели математического аппарата – метода или приема. Предельное логическое развитие указанного направления очень четко выявило все его недостатки.
        Кстати, алгебраистам противостоят аксиоматики. Они каждый новый неожиданный факт принимают за аксиому и на этой основе пытаются продвигаться далее. Естественно, что при таком подходе утрачивается всякая возможность понять что-либо в окружающем мире.
        Сторонники математических гипотез часто забывают, что математика как таковая представляет собой самостоятельную научную дисциплину, подчиняющуюся вполне определенным специфическим внутренним законам. Внутренняя логика развития формальной математической идеи и внутренняя логика развития явления природы – это далеко не одно и то же. Совершенно очевидно, что надо четко различать природу и математику, то есть физическое явление и язык, с помощью которого явление описывается.
        Короче говоря, я утверждаю, что математика есть язык, к которому прибегает наука для выражения тех или иных закономерностей, объективно существующих в окружающем нас мире. И я считаю в принципе невозможным подменять языком ту сущность, которую он выражает. В противном случае можно погрязнуть в бесплодных попытках навязывать природе чуждые ей закономерности и усматривать в математических уравнениях магический смысл, которого в действительности нет. Такие примеры не единичны, вспомним, в частности известные слова Гейзенберга об уравнениях (математических формах): «...эти формы следует считать не только частью наших представлений о реальности, но и частью самой реальности». Удивительная легкость, с какой великие отождествляют угаданные ими формулы с природой и заставляют нас думать, что математическое уравнение и окружающая нас действительность – это одно и то же!
        По широко распространенным ныне представлениям, во власти математики описать данное физическое явление, выполнить конкретные вычисления и сделать далеко идущие прогнозы. С такой точкой зрения нельзя не согласиться, но прежде надо разобраться в том, что означают эти слова.
        Математический язык, конечно, очень удобен для описания методами дедукции и индукции различных физических явлений, ибо он отличается богатством внутренней структуры и многообразием содержащихся в ней связях. Однако уже сейчас известны определенные закономерности, для выражения которых в математике не находится необходимого набора понятий («слов»). Кроме того, нельзя игнорировать возможность успешного применения также других языков, например, алгоритмического, словесного, графического, изобразительного, музыкального, химического, биологического и т.д. С каждым из этих языков связаны свои особые формы мышления.
        Что касается вычислительных способностей математики, то они общеизвестны и не требуют особых комментариев.
        Если говорить о прогнозах, то надо помнить, что математический язык, подчиняющийся собственным внутренним законам, как правило, способен описать данное явление лишь в определенном диапазоне изменения параметров. Вне этого диапазона логика развития явления и описывающего его языка могут не совпадать друг с другом, в результате неверными окажутся математические прогнозы, вытекающие из уравнений. Так часто бывает, например в пределе, при стремлении параметров к нулю или бесконечности, а также во многих других случаях. Поэтому к прогнозированию явлений с помощью математики надо относиться с крайней осторожностью.
        Таким образом, математическая модельная гипотеза обладает многими важными недостатками: ненадежность прогнозов; трудность, а иногда и невозможность согласования с количественными принципами и конкретными свойствами явления в цепи дедуктивных или индуктивных рассуждений; отсутствие должной наглядности, поскольку угаданное уравнение не содержит достаточно четких и ясных модельных представлений, это постоянно выдвигает проблему выяснения смысла и способов его применения – вспомним статистическую интерпретацию Максом Борном волновой функции, за что ему была присуждена Нобелевская премия, и т.д. Все это заставляет быть предельно осмотрительным, когда приходится угадывать или иметь дело с угаданными уравнениями. Отсюда следует, что математические гипотезы не могут быть положены в фундамент современной физической теории.
        В противоположность угадыванию математических уравнений при «угадывании» физической картины мира математика становится на естественно предназначенное ей место – служить языком, на котором осуществляются дедуктивные и индуктивные рассуждения. В общем случае язык может быть плохим или хорошим. Но если ясна физическая картина, которую он должен выразить, то это принципиального значения не имеет, ибо при этом кризисная ситуация возникнуть не может.
        В связи с изложенным небезынтересно вспомнить замечательные слова естествоиспытателя Гексли, адресованные Вильяму Томсону: «Математика, подобна жернову, перемалывает то, что под него засыпают, и как, засыпав лебеду, вы не получите пшеничной муки, так, исписав целые страницы формулами, вы не получите истины из ложных предпосылок». Лучше о роли математики сказать невозможно.
        Таковы взаимоотношения математики и природы. Но у математики имеются еще и свои собственные внутренние проблемы. Лучше всего эти проблемы были сформулированы Бертраном Расселом: «Чистая математика – это такой предмет, где мы не знаем, о чем говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим».
        Высказанные соображения имеют целью лишить ореола непогрешимости математически язык, используемый в качестве модели физического явления. Этот язык, конечно, очень гибок, экономен и емок, что несомненно послужило причиной появления большого числа дифирамбов, пропетых в адрес математики. Однако слепая вера в математику никогда не остается безнаказанной. Одновременно полезно не упускать из виду и такое перефразированное изречение: математика – это лучший способ водить других за нос. Итог всего сказанного следующий: математика – не царица, а служанка науки. Не всегда умелая и далеко не бескорыстная» [1, стр.39-42].

        «Но главным источником Ошибок и погрешностей в рассуждениях, как правило, являются качественные, или модельные, гипотезы. Модельные гипотезы призваны определять физический механизм (структуру, схему) изучаемого явления. В цепи рассуждений они перекидывают мост между количественными принципами и детальными свойствами конкретного явления.
        Модельные гипотезы характеризуют наши представления сущности физического механизма изучаемого явления, то, есть наше понимание этого явления. В ходе исторического развития науки имеющиеся модельные представления непрерывно изменяются и уточняются, ибо они отражают упомянутый механизм лишь с большим или меньшим приближением, отвечающим данному уровню знаний и никогда не способны, отразить его абсолютно точно. Иными словами, модельные представления всегда суть относительные истины, поэтому для них естественно было принять наименование гипотез.
        Модельные гипотезы в равной мере необходимы при изучении макромира, мегамира, микромира и т.д. В общем случае модельные гипотезы могут быть самыми разнообразными. Например, выделение из всей совокупности тел природы данного изучаемого тела (системы) уже есть определенная простейшая модельная гипотеза. Одну такую простейшую макромодельную гипотезу мы уже упомянули, когда говорили о передаче теплоты через стенку. Ее можно уточнить, если вместо бесконечно длинного цилиндра рассматривать цилиндр конечной длины, но тогда все рассуждения усложняются, хотя задача и выигрывает в точности. Еще более задача уточняется и усложняется, если учесть взаимное влияние теплового, кинетического, электрического и т.д. явлений, однако при этом приходится обращаться уже и к другим количественным принципам.
        К более сложным моделям, охватывающим одновременно несколько тел. приходится прибегать, например, при попытках описать устройство Солнечной системы. В качестве иллюстрации таких мегамодельных гипотез можно сослаться на геоцентрическую и гелиоцентрическую теории Птолемея и Коперника соответственно.
        Модельные гипотезы усложняются многократно при переходе к микромиру. Характерным примером может служить микромодель атома. Первоначально атом рассматривался как мельчайшая неделимая частица. Затем обсуждалась модель Дж. Дж. Томсона, представлявшая собой смесь положительных и отрицательных зарядов ("сливовый пудинг"). На смену сливовому пудингу пришла модель Резерфорда, в которой положительное ядро окружено облаком из отрицательно заряженных электронов. Эта модель трансформировалась в планетарную модель Бора, где вокруг положительного ядра движутся по определенным орбитам электроны. Сейчас обсуждаются более сложные модели, и этой смене моделей в принципе не может быть конца.
        Модельные гипотезы находятся различными способами. Их можно высказать умозрительно, не опираясь на опытные данные; такой подход характерен для мыслителей древности. Модельные гипотезы могут явиться результатом обобщения мышлением (опосредствования) наблюдений, касающихся свойств данного конкретного явления. Нет сомнений, что этот способ определения модельных гипотез предпочтительнее предыдущего. Наконец, модельные представления могут быть "угаданы" с помощью математических уравнений. Иными словами, при математическом подходе качественной моделью физического явления служит формула. Этот частный способ установления гипотез, именуемых математическими, широко распространен в настоящее время; вспомним, например, угаданные уравнения Гейзенберга, Дирака, Фейнмана, Шредингера, за что перечисленные авторы были удостоены Нобелевских премий. Математическая формула-модель обладает рядом специфических особенностей и недостатков; в частности, любая формула есть носитель определенной математической идеи, сущность которой не обязательно совпадает с сущностью изучаемого физического явления, кроме того, формула-модель не наглядна. В результате возникает проблема интерпретации "угаданного" уравнения, как это было, например, в случае Бора, статистически интерпретировавшего волновую функцию и получившего за это Нобелевскую премию.
        Приведенные рассуждения наглядно свидетельствуют об ограниченности всякой модельной гипотезы: во-первых, она недолговечна и, во-вторых, качественно характеризует только данное конкретное явление. Частный характер модели резко ограничивает сферу ее применения. Например, мы не можем модель явления обращения планет вокруг Солнца распространить на явление теплопроводности или электропроводности, и, наоборот, каждое конкретное явление должно быть сопоставлено со своей особой модельной гипотезой» [2, стр.25-27].

Литература.

1. Вейник А.И., «Книга скорби», Минск, рукопись, 03.10.1981.
2. Вейник А.И., «Термодинамика реальных процессов», Минск, Наука и техника, 1991.


Дополнение:

        Чирков Ю.Г., «Охота за кварками», М.: Молодая гвардия, 1985, стр. 113-114:
        «Споры идут, а теория меж тем высится, как некий прекрасный интеллектуальный собор, воздвигнутый, как говаривали в старину, во славу божию и приносящий глубокое удовлетворение и его архитекторам-теоретикам, и толпе «верующих».
        Запутаны и связи теоретической физики с математикой. Физики охотно пользуются математическим аппаратом, берут и самые тонкие её разделы, но обращаются с ними очень своеобразно.
        Математик – так считает польский писатель-фантаст С. Лем – похож на портного-безумца. Он словно бы ничего не знает ни о людях, ни о птицах, ни о растениях. Его будто бы и не интересует мир – он шьет одежды. Для кого? Он не ведает, не думает об этом. Он заботится лишь о последовательности, симметрии и о прочих странных правилах шитья.
        Готовую продукцию портной-математик относит на склад. Там залежи одежды. Всякой. Одни костюмы подошли бы осьминогу, другие – деревьям и бабочкам. Есть образчики и для людей, кентавров, единорогов и для таких созданий, которых даже трудно себе представить. Безумие?
        И да, и нет. Ибо физики, перетряхивая груды «пустых одежд», созданных математикой, взяли, например, матричное исчисление и создали (фактически это сделал в 1925 году В. Гейзенберг) квантовую механику – эту основу для физики элементарных частиц.
        Главное различие между физиком-теоретиком и математиком в методе мышления. Первый мыслит индуктивно – от частного к общему, идет к обобщениям от догадки, он знает, что его взгляды всегда приближенны и потом их наверняка придется пересматривать. Физик-теоретик все время как бы решает невообразимой сложности уравнение, единственным корнем которого являются фундаментальные законы, правящие миром.
        Не то – математик. Его стихия – дедукция: он предпочитает искать общее, а уж из него вылавливать частное; да, собственно, частности его не так уж и волнуют, частности он оставляет другим.
        Подведем итоги наших размышлений. Непростое положение у физика-теоретика. Ни физики-экспериментаторы, ни математики не признают этого иммигранта за своего. Экспериментаторам теоретическая деятельность кажется подозрительной и малоплодотворной; она-де не прибавляет новых законов в копилку знаний. Математикам же не по душе то, что физик-теоретик, говорящий на языке математике с заметным акцентом, часто действует недостаточно строго и что у него нет тех красивых и головоломных проблем, которыми так богата Топология, Теория чисел и другие «горячие точки» новейшей математики.
        Вот и оказался теорфизик, так сказать, в положении блудного сына, убежавшего из отчего дома – физической лаборатории – и скитающегося на чужбине, перебиваясь подаянием (что-то даст очередной «решающий» эксперимент!)».